常见高斯型求积公式简介
一维区间上的求积公式
区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上带权函数
ρ
(
x
)
\rho(x)
ρ(x) 的插值型求积公式的一般形式为
I
(
f
)
=
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
(1)
I(f) = \int^b_a \rho(x) f(x) dx \approx \sum_{k=0}^nA_k f(x_k) \tag{1}
I(f)=∫abρ(x)f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk)(1) 其中
x
k
,
A
k
(
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
n
)
x_k, A_k(k=0,1,2,\cdots,n)
xk,Ak(k=0,1,2,⋯,n) 为
2
n
+
2
2n+2
2n+2 个待定参数。
若求积公式
(
1
)
(1)
(1) 对一切不高于
m
m
m 次的多项式
p
(
x
)
p(x)
p(x) 都精确成立，并且存在一个
m
+
1
m+1
m+1 次多项式，使得求积公式不精确成立，则称该求积公式的代数精度为
m
m
m. 可以证明，通过恰当地选择节点
x
k
x_k
xk 和系数
A
k
A_k
Ak, 最高能使
I
(
f
)
I(f)
I(f) 的代数精度达到
2
n
+
1
2n+1
2n+1.
高斯积分
使求积公式
(
1
)
(1)
(1) 达到最高代数精度
2
n
+
1
2n+1
2n+1 的求积公式称为高斯型求积公式。节点
x
k
x_k
xk 称为高斯点，系数
A
k
A_k
Ak 称为高斯系数。
高斯-勒让德积分
对于高斯型求积公式，如果权函数
ρ
(
x
)
=
1
\rho(x)=1
ρ(x)=1, 则称相应的求积公式为高斯-勒让德积分公式，即
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
.
\int^1_{-1} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^nA_k f(x_k).
∫−11f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk). 高斯点
x
k
x_k
xk 取为勒让德多项式的零点，高斯系数可以查表得到。
如果积分区间是
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b], 将积分变量
x
∈
[
a
,
b
]
x\in[a,b]
x∈[a,b] 做如下的线性变换
x
=
b
−
a
2
t
+
a
+
b
2
x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}
x=2b−at+2a+b 将积分区间从
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 转换至
[
−
1
,
1
]
[-1,1]
[−1,1]，于是得到
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
b
−
a
2
∫
−
1
1
f
(
b
−
a
2
t
+
a
+
b
2
)
d
t
.
\int^b_a f(x) dx = \frac{b-a}{2}\int^{1}_{-1} f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\right) dt.
∫abf(x)dx=2b−a∫−11f(2b−at+2a+b)dt. 这样就可以用高斯-勒让德求积公式计算一般区间的积分。
高斯-切比雪夫积分
高斯-切比雪夫积分的权函数
ρ
(
x
)
=
1
1
−
x
2
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
,
\rho(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, x\in [-1,1],
ρ(x)=1−x2
1,x∈[−1,1], 那么
∫
−
1
1
f
(
x
)
1
−
x
2
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
,
\int^1_{-1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),
∫−111−x2
f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk), 其中
x
k
(
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
)
x_k (k=0,1,\cdots,n)
xk(k=0,1,⋯,n) 是
n
+
1
n+1
n+1 阶切比雪夫多项式
T
n
+
1
(
x
)
=
cos
[
(
n
+
1
)
arccos
x
]
T_{n+1}(x)=\cos [(n+1)\arccos x]
Tn+1(x)=cos[(n+1)arccosx] 的零点
x
k
=
cos
2
k
+
1
2
n
+
2
π
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
x_k = \cos \frac{2k+1}{2n+2}\pi,\quad k=0,1,\cdots,n
xk=cos2n+22k+1π,k=0,1,⋯,n 求积系数是
A
k
=
π
n
+
1
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
.
A_k = \frac{\pi}{n+1},\quad k=0,1,\cdots,n.
Ak=n+1π,k=0,1,⋯,n.
高斯-拉盖尔积分
高斯-拉盖尔积分的权函数
ρ
(
x
)
=
e
−
x
,
x
∈
[
0
,
+
∞
)
.
\rho(x)=e^{-x}, x\in[0,+\infty).
ρ(x)=e−x,x∈[0,+∞). 那么
∫
0
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
,
\int^\infty_0 e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),
∫0∞e−xf(x)dx≈k=0∑nAkf(xk), 积分点和求积系数可以查表得到。根据上式，可以得到
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
e
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
F
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
F
(
x
k
)
,
\int^\infty_0 f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-x} e^{x} f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-x} F(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k F(x_k),
∫0∞f(x)dx=∫0∞e−xexf(x)dx=∫0∞e−xF(x)dx≈k=0∑nAkF(xk), 其中
F
(
x
)
=
e
x
f
(
x
)
F(x) = e^xf(x)
F(x)=exf(x). 对于
[
a
,
+
∞
)
[a,+\infty)
[a,+∞) 区间上的积分
∫
a
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
\int^\infty_a e^{-x}f(x)dx
∫a∞e−xf(x)dx, 通过变量代换
x
=
a
+
t
x=a+t
x=a+t, 将
x
∈
[
a
,
∞
)
x\in[a,\infty)
x∈[a,∞) 变为
t
∈
[
0
,
∞
)
t\in [0,\infty)
t∈[0,∞), 再利用高斯-拉盖尔求积公式计算积分
∫
a
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
∞
e
−
(
a
+
t
)
f
(
a
+
t
)
d
t
=
e
−
a
∫
0
∞
e
−
t
f
(
a
+
t
)
d
t
.
\int^\infty_a e^{-x}f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-(a+t)} f(a+t) dt =e^{-a} \int^\infty_0 e^{-t} f(a+t) dt .
∫a∞e−xf(x)dx=∫0∞e−(a+t)f(a+t)dt=e−a∫0∞e−tf(a+t)dt.
高斯-厄米特积分
高斯-厄米特积分的权函数
ρ
(
x
)
=
e
−
x
2
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
.
\rho(x)=e^{-x^2}, x\in(-\infty,+\infty).
ρ(x)=e−x2,x∈(−∞,+∞). 那么
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
,
\int^\infty_{-\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),
∫−∞∞e−x2f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk), 积分点和求积系数可以查表得到。
附录
正交多项式
正交多项式
P
n
(
x
)
,
n
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
P_n(x), n = 0,1,2,\cdots,
Pn(x),n=0,1,2,⋯, 具有如下性质：
对每一个
n
n
n,
P
n
(
x
)
P_n(x)
Pn(x) 是
n
n
n 次多项式；
∫
a
b
ρ
(
x
)
P
i
(
x
)
P
j
(
x
)
d
x
=
0
,
i
≠
j
\int^b_a \rho(x) P_i(x) P_j(x) dx = 0, i\neq j
∫abρ(x)Pi(x)Pj(x)dx=0,i=j;对任意一个次数不大于
n
−
1
n-1
n−1 的多项式
P
(
x
)
P(x)
P(x), 有
∫
a
b
ρ
(
x
)
P
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
0
,
n
≥
1
\int^b_a \rho(x) P(x) P_n(x) dx = 0, n\geq 1
∫abρ(x)P(x)Pn(x)dx=0,n≥1
P
n
(
x
)
P_n(x)
Pn(x) 在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 内有
n
n
n 个互异零点。
利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：
以
n
+
1
n+1
n+1 次正交多项式的零点
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
x_0,x_1,\cdots,x_n
x0,x1,⋯,xn 作为积分点（高斯点）；用高斯点
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
x_0,x_1,\cdots,x_n
x0,x1,⋯,xn 对
f
(
x
)
f(x)
f(x) 做拉格朗日插值多项式
f
(
x
)
≈
∑
k
=
0
n
l
k
(
x
)
f
(
x
k
)
f(x)\approx \sum_{k=0}^n l_k(x) f(x_k)
f(x)≈k=0∑nlk(x)f(xk) 代入积分式
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
≈
∫
a
b
ρ
(
x
)
[
∑
k
=
0
n
l
k
(
x
)
f
(
x
k
)
]
d
x
=
∑
k
=
0
n
[
∫
a
b
ρ
(
x
)
l
k
(
x
)
d
x
]
f
(
x
k
)
.
\int^b_a \rho(x) f(x)dx \approx \int^b_a \rho(x)\left[ \sum_{k=0}^n l_k(x) f(x_k)\right] dx\\ = \sum_{k=0}^n \left[ \int^b_a \rho(x) l_k(x) dx \right] f(x_k).
∫abρ(x)f(x)dx≈∫abρ(x)[k=0∑nlk(x)f(xk)]dx=k=0∑n[∫abρ(x)lk(x)dx]f(xk). 因此，求积系数为
A
k
=
∫
a
b
ρ
(
x
)
l
k
(
x
)
d
x
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
.
A_k = \int^b_a \rho(x) l_k(x) dx,\quad k =0,1, \cdots,n.
Ak=∫abρ(x)lk(x)dx,k=0,1,⋯,n.
参考资料
[1] 高斯(Gauss)求积公式 [2] 高斯-勒让德公式-中南大学